Вы здесь

Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби: не так уж и сложно

thumbnail
Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби: подробно о том, как это сделать

Оглавление:

  1. Как возникли дроби
  2. Появление простых дробей
  3. Индийские цифры
  4. Позиционная система и десятичные дроби
  5. Двоичная система: математика опять без дробей
  6. Алгоритм перевода обыкновенных дробей в десятичные
  7. Примеры перевода
Как перевести дробь в десятичную? В наше время, когда вычислительные средства электроники всегда под рукой, простые дроби многим кажутся анахронизмом, а вопрос об их переводе – неуместным. Тем не менее, простые дроби упрямо продолжают существовать. В известном MS Office есть специальные значки 3/4, 1/3 и т.п.

Но если все знают, что 3/4 = 0,75, то запись 1/3 = 0,3333… или 1/3 = 0,(3) может вызвать недоумение у человека, отвыкшего считать без калькулятора, даже если он в свое время успешно прошел школьный курс арифметики. Так нужно ли уметь переводить дроби друг в друга? Что-то там помнится из пятого класса, это такая скука… Не такая уж и скука, между прочим, и может пригодиться. Для начала обратимся к истории.

Как возникли дроби

Впервые дроби появились в Древнем Вавилоне где-то за 2000 лет до новой эры и были шестидесятиричными: их знаменатель равнялся 60. Математикой в Вавилоне занимались жрецы, они же в своих занятиях столкнулись со случаями, когда нужно было знать соотношение чисел, друг на друга не делящихся.

Жрецы просто подобрали число, которое достаточно развитый человек еще может удержать в уме, имеющее максимальное количество простых делителей. В самом деле, 60 делится и на 2, и на 3, и на 5, и соответственно, на все кратные им числа без остатка. Знаменатель 60 вавилонских дробей был своего рода эталоном для сравнения чисел.

Но для средних умов – купцов, ремесленников, строителей – основание 60 было все же слишком большим. И плохо согласовывалось с удобным для практики счетом на пальцах рук, которых 10. Да и особых значков для цифр тогда еще не было; все действия записывались словами. Представляете? Лучше не надо.

Появление простых дробей

Следующий шаг сделали древние греки, которые свели математику к геометрическим построениям. Это было, по тем временам, очень наглядно. Развел ножки циркуля, отложил отрезок пять раз. Затем его же – семь раз. И сразу видно, какой насколько больше. Расположил отрезки параллельно на определенном расстоянии, провел прямые через их концы – видно, какой угол получился.

Современному человеку, даже специалисту, трудно представить себе такую математику, поэтому многие грандиозные сооружения и замечательные машины древности приписываются сегодня то ли инопланетянам, то ли атлантам, то ли еще кому-то, кроме тех людей, которые их на самом деле сделали.

Геометризация математики позволяла сравнивать без какого-либо выделенного эталона любые числа, делятся они друг на друга или нет. Поэтому дроби стали простыми: 3/11; 123/768 и т.п.

До поры, до времени, пока для практики не требовались очень большие и очень малые числа, простые дроби были вне конкуренции.

Индийские цифры

Революцию в математике произвели не позднее V в. н. э. индийцы, придумав отдельные значки для цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Они шли от того же счета на пальцах, поэтому и значков придумали 10, а не 12 или 60. Достаточно удобно – два простых делителя, 2 и 5 – и без труда может запомнить любой. 12 (дюжина) перед 10 не имеет преимущества, т.к. у него тоже два простых делителя: 2 и 3, а значков для записи требуется на два больше.

Не позднее VII в. индийские цифры пришли в Китай и к арабам, а от тех, в Х в. – в Европу. Поэтому у нас индийские цифры называются арабскими.

Позиционная система и десятичные дроби

Индийские цифры позволяли записывать любое, сколь угодно большое число в т. наз. позиционной системе. Каждая цифра слева от предыдущей считалась умноженной на 10. 458 = 4х10х10 + 5х10 + 8. 10 в таком случае – основание системы счисления. И оно же самым естественным образом становилось универсальным знаменателем дробей, вроде вавилонского 60, но доступным обычному уму.

Появление позиционной системы во многом способствовало прогрессу науки и техники. Геометрия циркуля и линейки тут выдохлась – ее точность была ограниченной. А математика становилась все более изощренной и оперировала все более абстрактными понятиями.

В 1617 г. английский математик Непер предложил целую (основание) и дробную (мантиссу) часть десятичной дроби разделять запятой, а знаменатель 10 не писать вовсе, раз он везде один и тот же. Теперь десятичной дробью можно было записывать и сколь угодно малые числа. А для невообразимо малых позже придумали экспоненциальную форму записи. Скажем, 7,37Е-7 будет 0,000000737. Она же оказалась удобной для отображения на дисплеях электронных устройств.

Есть ли у простых дробей будущее? Казалось бы, нет. Куда там, если даже десятичные отступают под натиском процентов. Но не так-то все просто.

Двоичная система: математика опять без дробей

Цифровые компьютеры работают в системе счисления с основанием 2 (двоичной). В ней всего две цифры – 0 и 1; включено/выключено; верно/неверно, а каждая «левая» цифра считается умноженной на 2 относительно «правой». Перевод двоичного кода в обычные десятичные числа делают специальные программы.

Кстати, в двоичной системе дробей вовсе нет, т.к. 1 на себя всегда делится с результатом тоже 1.

Развитие компьютерной техники идет по пути все большей наглядности результатов. Если в 50-х годах специалист по ЭВМ обязан был уметь читать двоичный код на перфоленте так же, как обычные цифры на бумаге, то теперь он же на цифровую распечатку может и не взглянуть – на дисплее ясно видно, в геометрических образах, как идет процесс.

Остается только удивляться гению древних греков, сразу поставивших наглядность во главу угла. Что бы они натворили, будь у них компьютеры?

Алгоритм перевода обыкновенных дробей в десятичные

Перевод обыкновенных дробей в десятичные делается последовательным делением числителя на знаменатель, затем остатка, умноженного на 10, опять на знаменатель, следующего остатка, опять умноженного на 10, снова на знаменатель, и так до тех пор, пока остатка не останется, либо не выявится период десятичной дроби, либо не будет достигнута заданная точность.

Числа, получившиеся до первого остатка, пишем до запятой; они дадут основание десятичной дроби.

Числа, получившиеся от деления остатков, умноженных на 10, пишем после запятой. Они дадут мантиссу.

Скажем сразу: не всякую простую дробь можно перевести в десятичную точно. Если знаменатель делится на 3, 7 или другое, не кратное 2 или 5, число, то получится бесконечная периодическая десятичная дробь. Период такой дроби принято брать в круглые скобки. Скажем, 2/3 = 0,(6). Либо округлять с заданной точностью, наподобие 0,6667. Период может оказаться очень длинным, тогда останавливаются на следующем, после достижения заданной точности, знаке. 2/3 с точностью в 1% будет 0,667.

Есть числа, которые невозможно выразить отношением любых целых чисел. Математики называют их иррациональными. Это всем известное ПИ – отношение длины окружности к ее диаметру, основание натурального логарифма е и другие. Такие числа записываются бесконечной непериодической десятичной дробью. Останавливаются по достижении нужной точности + один следующий знак.

Примеры перевода

Числитель больше знаменателя

Допустим, есть дробь 362/128.

  1. 362:128 = 2 + 106 в остатке (362 = 128х2 + 106 = 256 +106). Мантисса десятичной дроби будет равна 2, т.к. сразу же получился остаток.
  2. 106х10 = 1060:128 = 1060 – (128х8 = 1024) = 8 + 36 в остатке. 8 – первая цифра после запятой.
  3. 36х10 = 360:128 = 2 + 104 в остатке. 2 – вторая цифра после запятой.
  4. 1040:128 = 8 + 16 в остатке. 8 – третья цифра после запятой.
  5. 160:128 = 1 + 32 в остатке. 1 – четвертая цифра после запятой.
  6. 320:128 = 2 + 64 в остатке. 2 – пятая цифра после запятой.
  7. 640:128 = 5 – шестая цифра после запятой, остатка не осталось, и мы имеем 362/128 = 2,828125.

Числитель меньше знаменателя

Считаем числитель первым остатком. Сразу умножаем его на 10, и пишем ноль с запятой (0, ). Если числитель опять меньше знаменателя, считаем его вторым остатком, умножаем опять на 10 (всего 100), а после запятой дописываем еще ноль, и так далее, пока не получим числитель больше знаменателя. Тогда делим, как в примере первом.

3/8 = ?. 3х10 = 30; 30:8 = 3 + 6 в остатке; 6х10 = 60; 60:8 = 7 + 4 в остатке; 4х10 = 40; 40:8 = 5.

3/8 = 0,375.

Тогда 3/80 будет 0,0375; 3/800 = 0,00375 и т.д.

Нули после запятой до первой отличной от нуля цифры – незначащие, а первая отличная от нуля цифра после запятой и следующие за ней называются значащими. Если дописывать после последней значащей цифры нули, они значащими не будут.

Если проделать описанную процедуру для дроби, допустим, 9/14 (вспомним, 14 делится на 7), то получим 0,64285714285714285714… Числа в мантиссе …285714… будут повторяться до бесконечности; у нас получилась бесконечная периодическая десятичная дробь. Такую дробь для полной точности записывают так: 0,64(285714).

Иррациональное число при переводе обычных дробей в десятичные получиться не может, т.к. иррациональные числа отношением целых чисел не выражаются. Если мы считаем и считаем, а периода все не видно, значит, он слишком длинный и нужно остановиться на заданной точности.

Есть правило: чем больше у знаменателя простых делителей, тем длиннее окажется период. А простые делители – это делители из простых чисел, которые делятся только на самих себя и на 1. 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 23, 29 – это все простые числа. Математики до сих пор не знают, конечно ли количество простых чисел и по каким законам они распределяются в числовом ряду.

Не правда ли, хоть и сложновато, но вовсе не так уж и скучно?

Татьяна Миронова

Понравилось? Поделись с друзьями:
Топ 10 самых обсуждаемых
28.07.2017 | История | Комментариев: 118

Как найти по фамилии участника ВОВ в современных архивах

Архивы участников Великой Отечественной войны (пропавших без вести, погибших, ветеранов)

Список современных баз данных участников Великой Отечественной войны, а также подробная инструкция по поиску участников Великой отечественной войны 1941-1945 по фамилии в ахивах пропавших без вести ветеранов и на сайте министерства обороны. 

17.01.2018 | Бизнес | Комментариев: 114

Где взять миллион рублей за один день, срочно и безвозмездно?

Где взять миллион рублей за один день, срочно и безвозмездно?

Каждому человеку не помешал бы в жизни 1 миллион рублей, но где его взять? Под развитие бизнеса такие деньги дает государство, в других случаях поможет личная смекалка и богатые друзья или родственники. Существует масса вариантов.

20.07.2017 | Еда и кулинария | Комментариев: 55

Кляр для рыбы: пошаговые и простые рецепты

 кляр для рыбы: лучшие рецепты

Ищите как сделать кляр для рыбы? Подборка из 25 простых пошаговых  рецептов с фото для приготовления филе. Базовые варианты рыбки  в кляре и рецепты с майонезом, молоком, на минералке , на пиве, с сыром и  другие. Эти рецепты позволят сделать лезьон

12.04.2016 | Свадьба | Комментариев: 43

В каких странах разрешены однополые браки?

В каких странах разрешены однополые браки?

Люди с нетрадиционной сексуальной ориентацией все чаще заявляют о себе, как о равноправных гражданах, и хотят, чтобы их браки были официально признаны в каждой стране. На сегодня не так много стран решилось на это, но каждый год список пополняется.

12.04.2016 | Интернет и компьютеры | Комментариев: 42

Секреты клавиатуры: как писать символами, которых нет на клавиатуре

Секреты клавиатуры: как писать символами, которых нет на клавиатуре

В этой статье вы узнаете, как, используя обычную клавиатуру, вставить в текст различные специальные символы: смайлики, стрелочки и т.д.

05.08.2016 | Развлечения | Комментариев: 37

Что такое вайперы (вейперы), что они парят, вредно или нет?

Что такое вайперы (вейперы), что они парят, вредно или нет?

Сегодня, на улицах мегаполисов можно встретить людей, что выдыхают клубы пара. У них в руках странные курительные принадлежности.

28.04.2017 | Закон | Комментариев: 35

До скольки можно шуметь в квартире по закону РФ

До скольки можно шуметь в квартире по закону РФ

Соблюдайте "Закон о тишине" и не докучайте громкой музыкой своим соседям даже в дневное время. Иначе у вас могут возникнуть значительные неприятности.

05.07.2017 | Развлечения | Комментариев: 29

Гироскутер: что это такое, как выбрать и правильно им управлять

Что такое гироскутер? Как правильно его выбрать и на на основе каких принципов функционирует такое двухколесное средство передвижения? Узнайте как научиться управлять и заряжать его правильно. Постараемся ответить на эти и другие вопросы в

19.05.2017 | Здоровье | Комментариев: 27

Как избавиться от укусов комаров за 5 минут

Как избавиться от укусов комаров: самые эффективные и проверенные способы

Комариные укусы вызывают ужасный зуд, а если не сопротивляться желанию почесать укушенное место, то зуд становится сильнее, и появляется волдырь. Как избежать неприятных последствий?

21.04.2017 | Технологии | Комментариев: 25

Как отследить местоположение телефона: реальные методы

Как отследить местоположение телефона: действительно рабочие способы

Можно ли отследить местоположение телефона без ведома его владельца? Программы-радары для родителей, определяющие координаты устройства в режиме реального времени, а также ограничения на работу программ, отслеживающих координаты телефона.


Не нашли что искали? Воспользуйтесь поиском:

Реклама

Аватар пользователя Настя Кононова
  • Настя Кононова
  • 17 Сен 2013 в 22:44
спасибо очень помогло
Аватар пользователя Вадим Нескромный
  • Вадим Нескромный
  • 1 Окт 2013 в 22:03
почему я не понимаю
Добавить комментарий